Casse-têtes de logique : lampes, interrupteurs, sabliers et cordes
Ces casse-têtes entraînent à distinguer les états, à utiliser chaque information disponible et à chercher une mesure intermédiaire. Voici 4 énigmes classiques avec leur solution pas à pas.
Énigme des trois interrupteurs et de l'ampoule, la solution
Question classique d'entretien en informatique
Trois interrupteurs sont placés dans un couloir, et un seul d'entre eux commande une ampoule située dans une pièce fermée dont on ne voit rien depuis le couloir. Vous ne pouvez entrer dans la pièce qu'une seule fois. Comment savoir, en un seul passage, quel interrupteur commande l'ampoule ?
Un indice ?
Une ampoule allumée ne se voit pas seulement : elle chauffe aussi, et une ampoule éteinte peut encore garder la trace de sa chaleur.
Voir la réponse et la solution
Réponse : Chauffer avec le premier interrupteur, l'éteindre, allumer le deuxième, entrer : allumée, c'est le deuxième ; éteinte et chaude, le premier ; éteinte et froide, le troisième.
Le raisonnement
Il faut utiliser la chaleur en plus de la lumière. Allumez le premier interrupteur pendant plusieurs minutes, puis éteignez-le. Allumez ensuite le deuxième interrupteur et entrez dans la pièce sans attendre. Si l'ampoule est allumée, c'est le deuxième interrupteur qui la commande. Si elle est éteinte mais chaude, c'est le premier, car elle a eu le temps de chauffer avant d'être éteinte. Si elle est éteinte et froide, elle n'a jamais été alimentée : c'est donc le troisième interrupteur.
Énigme des 100 lampes et des carrés parfaits, la solution
Énigme de logique et de mathématiques très répandue
Cent lampes sont alignées, toutes éteintes, et numérotées de 1 à 100. Cent personnes passent l'une après l'autre : la personne numéro n change l'état de toutes les lampes dont le numéro est un multiple de n, c'est-à-dire qu'elle allume les lampes éteintes et éteint les lampes allumées. Combien de lampes sont allumées à la fin, et lesquelles ?
Un indice ?
Comptez combien de fois chaque lampe est basculée : cela dépend du nombre de diviseurs de son numéro.
Voir la réponse et la solution
Réponse : 10 lampes allumées, celles dont le numéro est un carré parfait : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100.
Le raisonnement
Une lampe numéro k est basculée par chaque personne n telle que n divise k, donc autant de fois que k a de diviseurs. Une lampe finit allumée si elle a été basculée un nombre impair de fois, car elle démarre éteinte. Or les diviseurs d'un nombre se rangent par paires (d et son quotient), sauf lorsque le nombre est un carré parfait : la racine carrée forme alors une paire avec elle-même, et le nombre de diviseurs est impair. Seules les lampes numérotées par un carré parfait restent donc allumées : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100, soit 10 lampes.
Énigme des sabliers pour mesurer 9 minutes, la solution
Casse-tête de logique
Vous disposez d'un sablier de 4 minutes et d'un sablier de 7 minutes, et vous pouvez retourner l'un ou l'autre à tout moment, autant de fois que nécessaire. Vous n'avez aucun autre instrument pour mesurer le temps. Comment mesurer exactement 9 minutes ?
Un indice ?
Lancez les deux sabliers en même temps et notez les moments où l'un d'eux se vide : ils donnent des repères intermédiaires.
Voir la réponse et la solution
Réponse : Retourner le sablier de 4 minutes à la 4e minute, celui de 7 minutes à la 7e et à la 8e minute : le sable s'arrête à la 9e minute.
Le raisonnement
On lance les deux sabliers ensemble à l'instant 0. À la 4e minute, le sablier de 4 minutes est vide : on le retourne. À la 7e minute, le sablier de 7 minutes est vide : on le retourne aussitôt, alors que le sablier de 4 minutes a coulé 3 minutes depuis son retournement. À la 8e minute, le sablier de 4 minutes est vide ; le sablier de 7 minutes, retourné à la 7e minute, a coulé exactement 1 minute. On le retourne alors : la minute de sable écoulée repasse en haut et s'écoule en 1 minute. Le sable s'arrête donc à la 9e minute, et l'on a mesuré 9 minutes.
Énigme des deux cordes pour mesurer 45 minutes, la solution
Énigme de logique d'entretien
Vous disposez de deux cordes, chacune brûlant en exactement 60 minutes, mais de façon irrégulière : une corde ne brûle pas à vitesse constante, de sorte que couper une corde en deux ne donne pas deux moitiés de 30 minutes. Vous avez des allumettes, mais aucun autre instrument pour mesurer le temps. Comment mesurer exactement 45 minutes ?
Un indice ?
Pensez à allumer une corde par ses deux extrémités, et demandez-vous ce qui se passe si vous allumez l'autre corde au bon moment.
Voir la réponse et la solution
Réponse : Allumer la corde A par ses deux bouts et la corde B par un seul bout ; quand A est consumée (30 minutes), allumer l'autre bout de B : 15 minutes de plus, soit 45.
Le raisonnement
Une corde allumée par ses deux bouts se consume deux fois plus vite, puisque le feu progresse des deux côtés à la fois. La corde A, allumée par ses deux bouts, est donc entièrement consumée en 30 minutes. Au même instant, la corde B est allumée par un seul bout ; après 30 minutes, il lui reste 30 minutes de combustion, à un seul bout. À cet instant, on allume l'autre bout de B : le feu progresse désormais des deux côtés, et ce qui reste de B brûle en 15 minutes. Le total est donc 30 + 15 = 45 minutes.
Questions fréquentes
Quelle est la méthode pour résoudre une énigme de lampes ou d'interrupteurs ?
Lister les actions possibles et noter quelle information chacune apporte est la méthode de base. Il faut ensuite choisir une suite d'actions qui distingue tous les cas possibles avant d'agir.
Faut-il être bon en mathématiques pour ces casse-têtes ?
Non : ces énigmes reposent surtout sur la logique, et les seuls calculs sont des additions de durées simples et la reconnaissance de carrés parfaits jusqu'à cent. Le raisonnement sur les états compte davantage que la technique.
Comment s'entraîner à ces casse-têtes de logique ?
Reprendre chaque énigme en décrivant par écrit chaque étape, puis la résoudre à nouveau sans regarder la solution. Varier les types d'énigmes permet de repérer le même raisonnement sous des habillages différents.
Et pour continuer ?
Un bon raisonnement se travaille comme la mémoire : en s'y essayant souvent. Testez-vous ensuite sur nos quiz de culture générale.