Questions d'entretien en conseil : énigmes de calcul mental corrigées
Ces énigmes entraînent à poser un cas chiffré, à calculer un seuil de rentabilité et à estimer un ordre de grandeur de tête. Voici 4 énigmes avec leur solution détaillée.
Seuil de rentabilité d'un produit vendu 20 € : la solution de l'énigme
Étude de cas en cabinet de conseil, sur le calcul du point mort et de la marge sur coût variable.
Un produit se vend 20 € l'unité. Son coût variable est de 12 € par unité vendue, et ses coûts fixes s'élèvent à 4 000 € sur la période. Combien d'unités faut-il vendre pour atteindre le seuil de rentabilité, c'est-à-dire pour couvrir exactement l'ensemble de ses coûts ?
Un indice ?
Calculez d'abord ce que rapporte chaque unité vendue après paiement de son coût variable, puis voyez combien d'unités il faut pour rembourser les coûts fixes.
Voir la réponse et la solution
Réponse : 500 unités, soit un chiffre d'affaires de 10 000 € : la marge unitaire de 8 € couvre les 4 000 € de coûts fixes.
Le raisonnement
La marge sur coût variable par unité est le prix de vente moins le coût variable : 20 − 12 = 8 €. Chaque unité vendue contribue donc à hauteur de 8 € à la couverture des coûts fixes. Le seuil de rentabilité est atteint lorsque la somme de ces contributions égale les coûts fixes : 4 000 ÷ 8 = 500 unités. Le chiffre d'affaires correspondant est de 500 × 20 = 10 000 €, et le résultat est nul à ce niveau. Au-delà de 500 unités, chaque vente supplémentaire dégage un bénéfice de 8 €.
Chiffre d'affaires en hausse, coûts en hausse : la solution du bénéfice
Étude de cas en cabinet de conseil, sur l'effet de variations combinées du chiffre d'affaires et des coûts.
Une entreprise réalise un chiffre d'affaires de 1 000 € et supporte des coûts de 800 €, soit un bénéfice de 200 €. L'année suivante, son chiffre d'affaires augmente de 20 %, mais ses coûts augmentent de 30 %. Que devient son bénéfice, en euros puis en pourcentage de variation ?
Un indice ?
Recalculez chaque montant séparément, en appliquant à chacun sa propre hausse, avant de faire la différence.
Voir la réponse et la solution
Réponse : Le bénéfice tombe à 160 € au lieu de 200 €, soit une baisse de 20 %, alors que le chiffre d'affaires a augmenté.
Le raisonnement
Le nouveau chiffre d'affaires vaut 1 000 × 1,20 = 1 200 €. Les nouveaux coûts valent 800 × 1,30 = 1 040 €. Le bénéfice devient donc 1 200 − 1 040 = 160 €, au lieu de 200 €. La variation est de (160 − 200) ÷ 200 = −20 %. Le chiffre d'affaires progresse de 20 %, mais le bénéfice recule de 20 % parce que les coûts ont augmenté plus vite que les ventes. Une hausse du chiffre d'affaires ne garantit donc pas une hausse du bénéfice : il faut comparer les taux de croissance des revenus et ceux des coûts.
Un oiseau entre deux trains qui se croisent : la solution du calcul mental
Question de calcul mental d'entretien, sur la vitesse relative et la simplification d'un problème.
Deux trains sont distants de 60 km et roulent l'un vers l'autre, chacun à 30 km/h. Un oiseau part du premier train au moment où le départ est donné, vole à 60 km/h vers le second, fait aussitôt demi-tour dès qu'il l'atteint, et continue ainsi d'aller-retour entre les deux trains jusqu'à leur collision. Quelle distance l'oiseau parcourt-il au total ?
Un indice ?
Ne calculez pas chaque aller-retour : demandez-vous combien de temps dure le trajet entre les deux trains, puis quelle distance l'oiseau couvre pendant ce temps.
Voir la réponse et la solution
Réponse : 60 km : les trains se croisent au bout d'une heure, et l'oiseau vole pendant cette heure à 60 km/h.
Le raisonnement
Les deux trains s'approchent l'un de l'autre à 30 + 30 = 60 km/h, puisque leurs vitesses s'additionnent. Distants de 60 km au départ, ils se rencontrent donc au bout de 60 ÷ 60 = 1 heure. L'oiseau vole sans interruption pendant toute cette durée à 60 km/h, quel que soit le nombre de ses demi-tours. Il parcourt donc 60 × 1 = 60 km. Calculer la série infinie des allers-retours, dont les trajets successifs raccourcissent, est inutile : il suffit de connaître le temps total.
Règle de 72 pour savoir en combien d'années un capital double
Calcul mental en finance
Un capital est placé à 6 % par an, avec des intérêts composés, c'est-à-dire que les intérêts s'ajoutent au capital et rapportent eux-mêmes des intérêts. En combien d'années environ ce capital double-t-il ? Vous pouvez donner une estimation rapide, de tête.
Un indice ?
Pensez à une règle de calcul mental qui fait intervenir un nombre facile à diviser par le taux en pourcentage.
Voir la réponse et la solution
Réponse : Environ 12 ans, par la règle de 72 : 72 divisé par 6 donne 12, alors que la valeur exacte est d'environ 11,9 ans.
Le raisonnement
La règle de 72 donne une estimation rapide : le nombre d'années nécessaires pour doubler un capital à intérêts composés est à peu près égal à 72 divisé par le taux annuel en pourcentage. Ici, 72 / 6 = 12, donc le capital double en environ 12 ans. Le calcul exact repose sur les logarithmes : il faut un nombre n tel que 1,06 à la puissance n égale 2, soit n = ln 2 / ln 1,06, environ 11,9 ans. L'estimation est donc très proche de la valeur exacte. La règle reste fiable pour des taux compris à peu près entre 6 % et 10 %, et perd en précision en dehors de cet intervalle.
Questions fréquentes
Quels types d'énigmes cette page propose-t-elle pour le conseil ?
Cette page propose quatre énigmes de conseil et de calcul mental : un seuil de rentabilité, un bénéfice qui baisse alors que le chiffre d'affaires monte, un problème de trains et d'oiseau, et la règle de 72. Chacune se résout avec des étapes courtes et des ordres de grandeur.
Faut-il une calculatrice pour ces énigmes ?
Non, elles se traitent de tête : on arrondit les nombres, on décompose les opérations et l'on vérifie le résultat par un ordre de grandeur. La règle de 72, par exemple, ne demande qu'une division.
Comment progresser en calcul mental pour ces énigmes ?
Refaire chaque énigme sans papier, en arrondissant les nombres, puis vérifier le résultat par un ordre de grandeur. Noter les étapes d'une marge unitaire ou d'un seuil de rentabilité aide à retrouver la méthode au moment de répondre.
Et pour continuer ?
Un bon raisonnement se travaille comme la mémoire : en s'y essayant souvent. Testez-vous ensuite sur nos quiz de culture générale.