Espérance de gain au dé avec une relance, la stratégie optimale
Question de salle de marchés (espérance)
Énoncé
Vous lancez un dé équilibré à six faces et vous gagnez, en euros, la valeur de la face obtenue. Vous avez le droit de relancer le dé une seule fois, si vous le souhaitez ; le second résultat est alors définitif. Quelle est l'espérance de gain avec la meilleure stratégie ?
Un indice ?
Calculez d'abord la moyenne d'un lancer, puis comparez-la aux faces que vous garderiez après une relance.
Voir la réponse et la solution
Réponse : 4,25 € : relancer si le premier résultat est 1, 2 ou 3, et garder le premier résultat s'il est 4, 5 ou 6.
Le raisonnement
Sans relance, l'espérance est la moyenne des six faces, soit (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3,5 €. Avec une relance, la meilleure stratégie consiste à relancer si le premier résultat est 1, 2 ou 3, car 3,5 € est supérieur à chacune de ces faces. Si le premier résultat est 4, 5 ou 6, on le garde. Si l'on garde, ce gain vaut en moyenne 5 € avec une probabilité de 1/2 ; si l'on relance, il vaut en moyenne 3,5 € avec une probabilité de 1/2. L'espérance vaut donc 1/2 × 5 + 1/2 × 3,5 = 2,5 + 1,75 = 4,25 €.
Et pour continuer ?
Un bon raisonnement se travaille comme la mémoire : en s'y essayant souvent. Testez-vous ensuite sur nos quiz de culture générale.