Questions de probabilités en entretien : énigmes corrigées
Ces énigmes testent le raisonnement sur les probabilités conditionnelles, l'espérance et les intuitions trompeuses. Voici 4 énigmes classiques avec leur solution, dont le fameux problème de Monty Hall.
Énigme de Monty Hall, faut-il changer de porte pour gagner
Question de probabilités d'entretien en finance
Trois portes sont fermées. Derrière l'une d'elles se trouve une voiture, et derrière les deux autres, une chèvre. Vous choisissez une porte sans l'ouvrir, puis l'animateur, qui sait où se trouve la voiture, ouvre une des deux portes restantes en révélant une chèvre. Il vous propose alors de changer de porte : avez-vous intérêt à changer ?
Un indice ?
Comparez les deux cas : au départ vous avez une chance sur trois de tomber sur la voiture, et l'animateur agit toujours de la même façon.
Voir la réponse et la solution
Réponse : Oui : changer donne 2 chances sur 3 de gagner la voiture, contre 1 chance sur 3 en gardant la porte choisie au départ.
Le raisonnement
Au départ, votre porte a une chance sur trois de cacher la voiture, donc les deux autres portes en cachent ensemble les deux tiers des chances. L'animateur, qui sait où est la voiture, ouvre toujours une porte avec une chèvre parmi les deux que vous n'avez pas choisies. Si vous avez choisi la voiture au départ, qui a une chance sur trois, changer vous fait perdre. Dans les deux autres cas, la voiture est derrière l'autre porte restante, et l'animateur est forcé de révéler la seule chèvre qui reste : changer vous fait alors gagner. Changer rapporte donc deux chances sur trois, contre une chance sur trois en gardant votre porte.
Paradoxe des anniversaires, combien de personnes faut-il
Classique des probabilités
Combien faut-il de personnes dans une pièce pour que la probabilité que deux d'entre elles aient le même jour d'anniversaire dépasse 50 % ? On ignore les personnes nées le 29 février, et l'on suppose que les 365 jours de l'année sont équiprobables.
Un indice ?
Il est plus simple de calculer la probabilité qu'aucune paire de personnes ne partage un anniversaire, puis de prendre le complément.
Voir la réponse et la solution
Réponse : 23 personnes, avec une probabilité d'environ 50,7 % qu'au moins deux d'entre elles partagent le même jour d'anniversaire.
Le raisonnement
Il est plus facile de calculer la probabilité complémentaire, celle qu'aucune paire de personnes n'ait le même anniversaire. La première personne peut être née n'importe quel jour. La deuxième doit éviter ce jour-là, soit 364 choix sur 365 ; la troisième doit éviter deux jours, soit 363 choix sur 365, et ainsi de suite. Pour 23 personnes, cette probabilité vaut 365/365 × 364/365 × ... × 343/365, soit environ 0,493. La probabilité qu'au moins deux personnes partagent un anniversaire est donc 1 − 0,493 ≈ 0,507, soit environ 50,7 %. Les 23 personnes forment 253 paires possibles, ce qui explique que la probabilité grimpe vite.
Espérance de gain au dé avec une relance, la stratégie optimale
Question de salle de marchés (espérance)
Vous lancez un dé équilibré à six faces et vous gagnez, en euros, la valeur de la face obtenue. Vous avez le droit de relancer le dé une seule fois, si vous le souhaitez ; le second résultat est alors définitif. Quelle est l'espérance de gain avec la meilleure stratégie ?
Un indice ?
Calculez d'abord la moyenne d'un lancer, puis comparez-la aux faces que vous garderiez après une relance.
Voir la réponse et la solution
Réponse : 4,25 € : relancer si le premier résultat est 1, 2 ou 3, et garder le premier résultat s'il est 4, 5 ou 6.
Le raisonnement
Sans relance, l'espérance est la moyenne des six faces, soit (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3,5 €. Avec une relance, la meilleure stratégie consiste à relancer si le premier résultat est 1, 2 ou 3, car 3,5 € est supérieur à chacune de ces faces. Si le premier résultat est 4, 5 ou 6, on le garde. Si l'on garde, ce gain vaut en moyenne 5 € avec une probabilité de 1/2 ; si l'on relance, il vaut en moyenne 3,5 € avec une probabilité de 1/2. L'espérance vaut donc 1/2 × 5 + 1/2 × 3,5 = 2,5 + 1,75 = 4,25 €.
Paradoxe des deux enfants, quelle probabilité d'avoir deux garçons
Paradoxe de probabilités
Une famille a deux enfants. On sait qu'au moins l'un des deux est un garçon. On suppose que la naissance d'un garçon et celle d'une fille sont équiprobables et indépendantes. Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des garçons ?
Un indice ?
Listez toutes les familles possibles de deux enfants, en tenant compte de l'ordre des naissances, puis éliminez celles qui ne contiennent aucun garçon.
Voir la réponse et la solution
Réponse : 1/3 : sur les trois familles possibles (garçon-garçon, garçon-fille, fille-garçon), une seule a deux garçons.
Le raisonnement
Il y a quatre combinaisons possibles pour l'ordre des naissances : garçon-garçon, garçon-fille, fille-garçon et fille-fille. La phrase « au moins l'un des deux est un garçon » exclut la combinaison fille-fille, il reste donc trois cas équiprobables. Seul le premier, garçon-garçon, a deux garçons. La probabilité est donc 1/3 et non 1/2, car l'information donnée ne précise pas quel enfant est le garçon. Si l'on savait que l'aîné est un garçon, la réponse serait 1/2, puisque les cas restants seraient garçon-garçon et garçon-fille.
Questions fréquentes
Quelles notions de probabilités faut-il maîtriser pour ces énigmes ?
Ces énigmes demandent de compter les issues possibles, de raisonner sur une probabilité conditionnelle et de calculer une espérance de gain. Le problème des anniversaires se traite en calculant la probabilité complémentaire, celle qu'aucune paire ne partage le même jour.
Faut-il connaître des formules spéciales pour ces énigmes ?
Non : elles reposent sur quelques outils de base, compter les cas possibles, utiliser le complémentaire et calculer une espérance, sans formule difficile. Le plus important est de définir clairement l'événement étudié avant de compter.
Comment éviter les erreurs d'intuition dans ces énigmes ?
Écrire la liste complète des issues avant de conclure, puis vérifier le raisonnement sur un cas plus petit. Plusieurs énigmes de cette page contredisent l'intuition, comme celle des anniversaires, où le nombre de personnes nécessaire est plus petit qu'on ne le croit.
Et pour continuer ?
Un bon raisonnement se travaille comme la mémoire : en s'y essayant souvent. Testez-vous ensuite sur nos quiz de culture générale.