Domande di probabilità al colloquio: enigmi risolti passo dopo passo
Questi enigmi mettono alla prova il ragionamento sulle probabilità condizionate, sul valore atteso e sulle intuizioni ingannevoli. Ecco 4 enigmi classici con la loro soluzione, incluso il celebre problema di Monty Hall.
Enigma di Monty Hall: conviene cambiare porta per vincere?
Domanda di probabilità da colloquio in finanza
Ci sono tre porte chiuse. Dietro una di esse c'è un'automobile, e dietro le altre due una capra. Scegli una porta senza aprirla, poi il conduttore, che sa dove si trova l'automobile, ne apre una delle due rimaste rivelando una capra. Ti propone quindi di cambiare porta: conviene cambiare?
Un indizio?
Confronta i due casi: all'inizio hai una possibilità su tre di trovare l'automobile, e il conduttore agisce sempre allo stesso modo.
Mostra la risposta e la soluzione
Risposta: Sì: cambiare dà 2 possibilità su 3 di vincere l'automobile, contro 1 su 3 se tieni la porta scelta all'inizio.
Il ragionamento
All'inizio la porta che hai scelto ha una possibilità su tre di nascondere l'automobile, quindi le altre due porte ne nascondono insieme i due terzi. Il conduttore apre sempre una porta con una capra tra le due che non hai scelto. Se all'inizio hai scelto l'automobile, che ha una possibilità su tre, cambiare ti fa perdere. Negli altri due casi l'automobile si trova dietro l'altra porta rimasta, e il conduttore è costretto a rivelare l'unica capra che resta: cambiando, vinci. Cambiare dà quindi due possibilità su tre, contro una su tre se tieni la tua porta.
Paradosso del compleanno: quante persone servono davvero?
Classico della probabilità
Quante persone servono in una stanza perché la probabilità che due di loro abbiano lo stesso giorno di compleanno superi il 50%? Si ignorano le persone nate il 29 febbraio, e si suppone che i 365 giorni dell'anno siano equiprobabili.
Un indizio?
È più semplice calcolare la probabilità che nessuna coppia di persone condivida un compleanno, e poi prenderne il complemento.
Mostra la risposta e la soluzione
Risposta: 23 persone, con una probabilità di circa il 50,7% che almeno due di loro abbiano lo stesso giorno di compleanno.
Il ragionamento
È più facile calcolare la probabilità complementare, quella che nessuna coppia di persone abbia lo stesso compleanno. La prima persona può essere nata in un giorno qualsiasi. La seconda deve evitare quel giorno, quindi ha 364 scelte su 365; la terza deve evitare due giorni, quindi ha 363 scelte su 365, e così via. Per 23 persone, questa probabilità vale 365/365 × 364/365 × ... × 343/365, cioè circa 0,493. La probabilità che almeno due persone condividano un compleanno è quindi 1 − 0,493 ≈ 0,507, cioè circa il 50,7%. Le 23 persone formano 253 coppie possibili, il che spiega perché la probabilità cresce rapidamente.
Valore atteso del dado con un secondo lancio: la strategia migliore
Domanda da sala trading sul valore atteso
Lanci un dado equilibrato a sei facce e guadagni, in euro, il valore della faccia uscita. Puoi rilanciare il dado una sola volta, se lo desideri; il secondo risultato è allora definitivo. Qual è il valore atteso del guadagno con la strategia migliore?
Un indizio?
Calcola prima la media di un lancio, poi confrontala con le facce che terresti dopo un rilancio.
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Risposta: 4,25 €: rilancia se il primo risultato è 1, 2 o 3, e tieni il primo risultato se è 4, 5 o 6.
Il ragionamento
Senza rilancio, il valore atteso è la media delle sei facce, cioè (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3,5 €. Con un rilancio, la strategia migliore consiste nel rilanciare se il primo risultato è 1, 2 o 3, perché 3,5 € è superiore a ciascuna di queste facce. Se il primo risultato è 4, 5 o 6, lo tieni. Se lo tieni, il guadagno vale in media 5 € con probabilità 1/2; se rilanci, vale in media 3,5 € con probabilità 1/2. Il valore atteso è quindi 1/2 × 5 + 1/2 × 3,5 = 2,5 + 1,75 = 4,25 €.
Paradosso dei due figli: qual è la probabilità che siano due maschi
Paradosso di probabilità
Una famiglia ha due figli. Si sa che almeno uno dei due è un maschio. Si suppone che la nascita di un maschio e quella di una femmina siano equiprobabili e indipendenti. Qual è la probabilità che i due figli siano entrambi maschi?
Un indizio?
Elenca tutte le famiglie possibili con due figli, tenendo conto dell'ordine delle nascite, poi elimina quelle che non contengono alcun maschio.
Mostra la risposta e la soluzione
Risposta: 1/3: delle tre famiglie possibili (maschio-maschio, maschio-femmina, femmina-maschio) una sola ha due maschi.
Il ragionamento
Ci sono quattro combinazioni possibili per l'ordine delle nascite: maschio-maschio, maschio-femmina, femmina-maschio e femmina-femmina. La frase «almeno uno dei due è un maschio» esclude la combinazione femmina-femmina, restano quindi tre casi equiprobabili. Solo il primo, maschio-maschio, ha due maschi. La probabilità è quindi 1/3 e non 1/2, perché l'informazione data non precisa quale figlio sia il maschio. Se si sapesse che il primogenito è un maschio, la risposta sarebbe 1/2, poiché i casi rimasti sarebbero maschio-maschio e maschio-femmina.
Domande frequenti
Quali nozioni di probabilità bisogna padroneggiare per questi enigmi?
Questi enigmi chiedono di contare gli esiti possibili, di ragionare su una probabilità condizionata e di calcolare un guadagno atteso. Il problema dei compleanni si risolve calcolando la probabilità complementare, quella che nessuna coppia condivida lo stesso giorno.
Bisogna conoscere formule speciali per questi enigmi?
No: si basano su pochi strumenti di base, contare i casi possibili, usare il complementare e calcolare un valore atteso, senza formule difficili. La cosa più importante è definire con chiarezza l'evento studiato prima di contare.
Come evitare gli errori d'intuizione in questi enigmi?
Scrivi l'elenco completo degli esiti prima di concludere, poi verifica il ragionamento su un caso più piccolo. Diversi enigmi di questa pagina contraddicono l'intuizione, come quello dei compleanni, dove il numero di persone necessario è più piccolo di quanto si creda.
E poi?
Il ragionamento si allena come la memoria: provandoci spesso. Mettiti poi alla prova con i nostri quiz di cultura generale.