Preguntas de probabilidad en entrevistas: acertijos resueltos paso a paso
Estos acertijos ponen a prueba el razonamiento sobre probabilidades condicionadas, la esperanza matemática y las intuiciones engañosas. Aquí tienes 4 acertijos clásicos con su solución, entre ellos el famoso problema de Monty Hall.
Problema de Monty Hall: ¿conviene cambiar de puerta para ganar?
Pregunta de probabilidades de entrevistas en finanzas
Hay tres puertas cerradas. Detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras dos, una cabra. Eliges una puerta sin abrirla; después, el presentador, que sabe dónde está el coche, abre una de las dos puertas restantes mostrando una cabra. Te propone entonces cambiar de puerta: ¿te conviene cambiar?
¿Una pista?
Compara los dos casos: al principio tienes una probabilidad de 1 entre 3 de tocar el coche, y el presentador actúa siempre de la misma manera.
Ver la respuesta y la solución
Respuesta: Sí: cambiar da 2 posibilidades de cada 3 de ganar el coche, frente a 1 de cada 3 si se conserva la puerta elegida al principio.
El razonamiento
Al principio, tu puerta tiene una probabilidad de 1 entre 3 de esconder el coche, así que las otras dos puertas esconden juntas las dos terceras partes de las posibilidades. El presentador, que sabe dónde está el coche, abre siempre una puerta con una cabra entre las dos que no has elegido. Si al principio elegiste el coche, algo que ocurre con probabilidad 1 entre 3, cambiar te hace perder. En los otros dos casos, el coche está detrás de la otra puerta restante, y el presentador se ve obligado a revelar la única cabra que queda: cambiar te hace ganar. Cambiar ofrece, pues, 2 posibilidades de cada 3, frente a 1 de cada 3 si se conserva la puerta propia.
Paradoja del cumpleaños: ¿cuántas personas hacen falta para superar el 50 %?
Clásico de las probabilidades
¿Cuántas personas tiene que haber en una habitación para que la probabilidad de que dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día supere el 50 %? Se ignoran las personas nacidas el 29 de febrero, y se supone que los 365 días del año son igualmente probables.
¿Una pista?
Es más sencillo calcular la probabilidad de que ninguna pareja de personas comparta cumpleaños, y después tomar el complementario.
Ver la respuesta y la solución
Respuesta: 23 personas, con una probabilidad de alrededor del 50,7 % de que al menos dos de ellas compartan el mismo día de cumpleaños.
El razonamiento
Es más fácil calcular la probabilidad complementaria, la de que ninguna pareja de personas tenga el mismo cumpleaños. La primera persona puede haber nacido cualquier día. La segunda debe evitar ese día, es decir, 364 opciones de 365; la tercera debe evitar dos días, es decir, 363 de 365, y así sucesivamente. Para 23 personas, esta probabilidad vale 365/365 × 364/365 × ... × 343/365, es decir, alrededor de 0,493. La probabilidad de que al menos dos personas compartan cumpleaños es, por tanto, 1 − 0,493 ≈ 0,507, es decir, alrededor del 50,7 %. Las 23 personas forman 253 parejas posibles, lo que explica que la probabilidad aumente rápidamente.
Esperanza de ganancia con un dado y una segunda tirada: la estrategia óptima
Pregunta de sala de mercados (esperanza matemática)
Lanzas un dado equilibrado de seis caras y ganas, en euros, el valor de la cara obtenida. Tienes derecho a relanzar el dado una sola vez, si lo deseas; el segundo resultado es entonces definitivo. ¿Cuál es la esperanza de ganancia con la mejor estrategia?
¿Una pista?
Calcula primero la media de una tirada, y después compárala con las caras que conservarías tras una relanzada.
Ver la respuesta y la solución
Respuesta: 4,25 €: relanzar si el primer resultado es 1, 2 o 3, y conservar el primer resultado si es 4, 5 o 6.
El razonamiento
Sin relanzar, la esperanza es la media de las seis caras, es decir, (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3,5 €. Con una relanzada, la mejor estrategia consiste en relanzar si el primer resultado es 1, 2 o 3, porque 3,5 € es superior a cada una de esas caras. Si el primer resultado es 4, 5 o 6, se conserva. Si se conserva, esa ganancia vale de media 5 € con probabilidad 1/2; si se relanza, vale de media 3,5 € con probabilidad 1/2. La esperanza vale, pues, 1/2 × 5 + 1/2 × 3,5 = 2,5 + 1,75 = 4,25 €.
Paradoja de los dos hijos: ¿qué probabilidad hay de que ambos sean niños?
Paradoja de probabilidades
Una familia tiene dos hijos. Se sabe que al menos uno de los dos es un niño. Se supone que el nacimiento de un niño y el de una niña son igualmente probables e independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos hijos sean niños?
¿Una pista?
Enumera todas las familias posibles de dos hijos, teniendo en cuenta el orden de nacimiento, y después descarta las que no tienen ningún niño.
Ver la respuesta y la solución
Respuesta: 1/3: de las tres familias posibles (niño-niño, niño-niña, niña-niño), solo una tiene dos niños.
El razonamiento
Hay cuatro combinaciones posibles para el orden de nacimiento: niño-niño, niño-niña, niña-niño y niña-niña. La frase « al menos uno de los dos es un niño » excluye la combinación niña-niña, así que quedan tres casos igualmente probables. Solo el primero, niño-niño, tiene dos niños. La probabilidad es, pues, 1/3 y no 1/2, porque la información dada no precisa cuál de los hijos es el niño. Si se supiera que el mayor es un niño, la respuesta sería 1/2, puesto que los casos restantes serían niño-niño y niño-niña.
Preguntas frecuentes
¿Qué nociones de probabilidad hay que dominar para estos acertijos?
Estos acertijos piden contar los resultados posibles, razonar con una probabilidad condicionada y calcular una ganancia esperada. El problema de los cumpleaños se resuelve calculando la probabilidad complementaria, la de que ninguna pareja comparta el mismo día.
¿Hace falta conocer fórmulas especiales para estos acertijos?
No: se basan en unas pocas herramientas básicas, contar los casos posibles, usar el complementario y calcular una esperanza, sin fórmulas difíciles. Lo más importante es definir con claridad el suceso estudiado antes de contar.
¿Cómo evitar los errores de intuición en estos acertijos?
Escribe la lista completa de resultados posibles antes de concluir y comprueba después el razonamiento con un caso más pequeño. Varios acertijos de esta página contradicen la intuición, como el de los cumpleaños, en el que el número de personas necesario es menor del que se cree.
¿Y ahora?
El razonamiento se entrena como la memoria: practicando a menudo. Ponte a prueba después con nuestros quiz de cultura general.